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Atividade

99928 - O que é Geometria?

Período da turma:

12/01/2021 a 04/02/2021

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Descrição:

Programa:

Esse curso se propõe a apresentar de jeito elementar ideias de geometria moderna. Os tópicos centrais que estudaremos são: o terceiro problema de Hilbert, os problemas de bolhas de sabão, a visão de Klein da geometria e ladrilhamentos. Além disso, o objetivo do curso certamente não é fazer contas (até porque para isso que servem computadores), mas sim entender conceitualmente algumas ideias que permeiam a matemática atual. Em especial, a de simetria, que é fundamental para entender qualquer coisa em matemática e física: da teoria dos números mais refinada à física de partículas. Também trataremos da famosa geometria hiperbólica, onde as ideias de simetria entram de jeito interessante, misturando números complexos à geometria dos círculos. A descoberta de tal geometria em meados do século XIX foi uma grande quebra de paradigma, pois permitiu aos matemáticos considerarem geometrias mais selvagens, muito além da Euclidiana. Se não fosse o abandono da visão Euclidiana do mundo, dificilmente existiria a matemática necessária ao entendimento de relatividade geral e mecânica quântica. Além disso, geometria hiperbólica tem o hábito de aparecer em tudo que é canto, sendo interessante por si só.

Os tópicos apresentados serão escolhidos entre os listados abaixo e certas alterações podem vir a acontecer de acordo com o andar do curso.
1) Apresentar vetores e matrizes geometricamente, explicar determinante como área/volume,aplicar essas ideias para resolver sistemas lineares e calcular área/volume de figuras complicadas como elipses e elipsoides.
2) Provar o teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien: Dado dois polígonos P1 e P2 de mesma área,é possível cortar P1 em um número finito de polígonos menores e rearranjá-los formando o outro polígono P2. Em essência, esse teorema quer dizer que para calcular a área de qualquer polígono,basta saber duas coisas: usar uma tesoura e calcular área de quadrados. Introduzir o terceiro problema de Hilbert e explicar a solução de Max Dehn.
3) A prova de Steiner da desigualdade isoperimétrica: Entre todas regiões delimitadas por uma curva simples com perímetro fixo, a que tem área máxima é o disco. Problemas de bolhas de sabão.
4) Apresentar números complexos como pontos no plano e relacionar multiplicação com rotações.Introduzir a constante de Euler, relacioná-la às funções trigonométricas, e provar as identidades trigonométricas a partir da identidade de Euler.
5) Introduzir as transformações de Möbius e a geometria dos círculos.
6) A descoberta das geometrias não-Euclidianas: semiplano e disco de Poincaré.
7) Geometria segundo Klein: geometria Euclidiana, geometria esférica e geometria hiperbólica.
8) Característica de Euler, ladrilhamentos e pinturas de Escher.

Bibliografia:

Para as noções de vetores, área/volume e matrizes, recomendo a playlist do 3Blue1Brown sobre álgebra linear no youtube, cujos vídeos possuem legenda e se encontram em: https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
Para o tópico 2) seguirei em essência o vídeo do "The Dehn Invariant - Numberphile" (em inglês): https://www.youtube.com/watch?v=eYfpSAxGakI
Para o tópico 3) usarei a prova que se encontra no site "cut the knot" (em inglês): https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml
Para os demais tópicos, seguirei o artigo da Acta Legalicus (em português): http://www.cemeai.icmc.usp.br/actalegalicus/uma-prova-celestial-do-teorema-fundamental-da-algebra/

Carga Horária:

12 horas

Tipo:

Obrigatória

Vagas oferecidas:

300

Ministrantes:

Hugo Cattarucci Botos

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